Собрал схему, которую предложил уважаемый Nafis: выпаял симистор, взял транзистор n-p-n КТ315 подключил базу к управляющему выходу симистора (9 вывод контроллера + резистор 470 Ом), коллектор вывел на реле с диодом и далее на +5 v кренки, эмиттер, соответственно, на минус, контакты реле на насос и запустил машинку. Что получилось в итоге... А получился странный эффект: машинка запустилась, реле щелкнуло, но потом, через секунду вдруг выключилась полностью. То есть, экран и все лампочки погасли, еще через секунду снова все включилось, снова щелкнуло реле, потом опять все выключилось - и так по циклу бесконечно. Было такое впечатление, что контроллер словно пытается делать сброс питания и перезапуск всей электроники по циклу. Эксперимент провалился.

Далее решил попробовать предложение уважаемого amd1965: вернул на место симистор и чисто от балды увеличил сопротивление резистора R18 (470 Ом) на 1 кОм – это резистор управляющего вывода симистора. Произошло чудо! Машинка включилась и даже стала отрабатывать режим полоскания, который я включил для теста. Я уже обрадовался, думал, - наконец-таки! Но радоваться пришлось недолго, поскольку за весь процесс работы насос слива так и не включился ни разу. Думал: может слишком большой номинал... стал уменьшать и снова пробовать – так перебрал 5 вариантов и каждый раз пришлось сидеть и ждать по 30...40 минут всего процесса работы, чтобы зафиксировать момент включения насоса, но этого так и не произошло.


P.S.
Кстати, хотел проверить симистор, но это оказалось не так просто. Симистор, на самом деле, очень непростое устройство. Тестером достоверно не проверить, нужна специальная схема. Это не просто: подал на управляющий ток... он открылся, убрал – закрылся. Нет! Оказывается, открывается симистор импульсным током (отпирающим), а далее подается меньший ток (поддерживающий). А при коммутации переменного напряжения работа симистора делится на четыре неких квадранта. Довольно сложно! У меня прибора проверки нет. Так что ничего сказать не могу. Подробней про симисторы вот здесь: https://220v.guru/fizicheskie-ponyatiya-i-pribory/kak-proverit-testerom-simistor-btb16-700bw.html